Na začátku každého vědního oboru je reálný svět kolem nás. Matematik se z něho snaží vypreparovat ty nejjednodušší pojmy. Nejlépe se to ukazuje na geometrii - nauka o vlastnostech a vzájemných vztazích mezi rovinnými a prostorovými útvary. Hledá se to nejzákladnější: bod, přímka, rovina, bod leží na přímce.
Primitivní pojem je takový pojem, o kterém se předpokládá, že je všem známý a jasný - každý ví, co znamená. Primitivní pojmy a jejich význam jen upřesňujeme popisem a příklady.
Například bod. Bod je ... představte si balon, pak fotbalový míč, pak tenisový míček, pak pinkponkový míček, kuličku na cvrnkání, špendlíkovou hlavičku, a ... a tak dále, až na konci je bod.
Pak hledáme základní vztahy mezi primitivními pojmy opět z reality a ty nakonec formulujeme v požadavky.
Axiomy jsou požadavky kladené na primitivní pojmy. Jsou to tvrzení o primitivních pojmech, která všichni pokládají za jasné a platné. Samozřejmě, když změníme axiomy, můžeme dostat jinou teorii.
Například:
Tyto čtyři axiomy vedou ke geometrii, kterou známe nejlépe a je nám nejpochopitelnější. Je také nejstarší a nazývá se Eukleidovská.
Jestliže první tři axiomy jsou skutečně jasné, se čtvrtým axiomem to již tak jasné není - copak můžeme vědět, co se děje v nekonečnu ? A tak matematik Lobačevský formuloval jiné vztahy:
A tak vznikla roku 1826 Lobačevského geometrie.
V témže roce se narodil Riemann a ve své práci upravil čtvrtý axiom do tvaru (Riemannovská geometrie):
Obě neeukiedovské geometrie našly své uplatnění v řešení problému reálného světa. Dodnes není jasné, zdali náš vesmír je eukleidovský nebo lobačevský anebo riemanovský.