Ne všechny pravděpodobnostní procesy se odehrají okamžitě. Hodíme jednou kostkou a výsledek známe hned. Hodíme-li dvěma kostkami: – buď hodíme obě najednou, pak je to též jednorázový děj – nebo hodíme jednou kostkou a získáme jistou informaci a pak hodíme druhou kostkou. Jak se změní pravděpodobnost nějakého jevu, když získáme nějakou dílčí informaci? To je otázka, kterou se budeme nyní zabývat. A s vysvětlováním začneme u kostek.

Označme A jev, že součet ok na dvou kostkách bude větší než 6
a jev B, že na 1. kostce padla 2 oka

S jakou pravděpodobností padne na dvou kostkách součet ok větší než 6?

To je pro nás již známá úloha (mřížové body v trojúhelníku)

Jaká je nyní pravděpodobnost jevu A, že součet ok bude větší než 6, když máme dodatečnou informaci, že nastal jev B?

Dodatečná informace zúžila pole možných výsledků (elementárních jevů). Základem nyní jsou jen mřížové body v úzkém obdélníku a pravděpodobnost, že nyní ještě padne součet ok větší než 6 je

Značení A|B symbolizuje nastání jevu A, když víme, že již nastal jev B. Tím, že na první kostce padla 2 (dodatečná informace), poklesly naše naděje dostat součet větší než 6 z 0,58 na 0,33.

Jak asi vypadá vzorec, který by tyto tři pravděpodobnosti P(B) = 1/6, P(A∩B) = 2/36, P(A|B) = 2/6 spolu provázel?

Jiný případ. Bláznivý chlap Bilion v Brně pořádá následující hru s těmito pravidli: Zájemce náhodně vybere jednu kouli. Když vybere kouli:
A – na které je červená barva, dostane 100 tisíc,
B – na které je černá barva, nic neztratí,
C – na které je bílá barva, musí Bilionovi 100 tisíc dát.

Víme, že v urně je 12 koulí (křížků). 3 jsou celé červené, 4 jsou celé černé, 2 jsou červenočerné, 2 jsou modré a 1 bílá. Koule obsahující červenou, černou, bílou barvu jsou na obrázku seskupeny v množině A, B, C.
Máme akutní nedostatek finančních prostředků, a tak do toho jdem, protože pravděpodobnost ztráty se nám zdá malá. Snadno si spočteme
P(A) = 5/12 - výhra
P(B) = 1/2 - nic se neděje
P(C) = 1/12 – ztráta, co vede ke konkurzu
P(A∩B) = 2/12

Bohužel, v den losování nemůžeme být na místě, máme v Praze důležité jednání. Proto vyšleme do Brna svého zplnomocněnce, agenta, který nemyslí, jen mechanicky plní naše příkazy. Agent vytáhl jednu kouli a telefonuje nám výsledek. Telefonní linky jsou však plné poruch, a tak se nám podařilo pochopit pouze informaci, že na vytažené kouli je černá barva. Jak se změnila pravděpodobnost jednotlivých případů při znalosti faktu, že nastal jev B?

C – tento jev je nemožný, nemáme kouli s barvou bílou i černou současně; to jsme si oddychli, krach se nekoná

Vzorec se bude hodit i v těchto upravených podobách

Jsou–li jevy A a B nezávislé, pak pravděpodobnost jevu A není nijak ovlivněna tím, zda jev B nastal nebo nenastal.