Pojem maticové hry s nulovým součtem

JIRKA:
Dnes máme v plánu podrobněji probrat maticové hry. Čím začneme?

JEFF:
Připravil jsem shrnutí toho, co jsme si minule řekli a něco málo k tomu na doplnění.

• Maticová hra má dva hráče.
  Hráč nemusí nutně být jedna osoba. Matouš vede chlapecký oddíl s dvanácti kluky a Katka dívčí družinu dvanácti děvčat. Rázem je tu 26 osob, ale stále zůstaly jen dva zájmy, mají společné výhry a prohry.

• Každý hráč v maticové hře má konečný počet strategií, které jsou předem známé.
  Každý hráč chce dosáhnout výsledku, který mu přinese největší užitek. Ve hře má více možností jednání, více možností, jak do hry zasahovat. Chce-li hrát racionálně, musí si promyslet všechny možnosti jednání a zvolit nejvýhodnější, tj. musí si předem připravit přesný plán postupu. Každý úplný plán jednání hráče ve hře, který nemůže být narušen činností soupeře, se v teorii her nazývá strategie. Každý hráč má jistý počet strategií, které, jak předpokládáme, jsou známé. Pro snadnější orientaci si je obvykle číslujeme přirozenými čísly. Katka i Matouš mají každý právě čtyři různé cesty (obecně má každý hráč jiný počet strategií), své čtyři strategie.

• Tabulka, která obsahuje číselné vyjádření možných výsledků, se nazývá výplatní matice.
  Pravidla hry musí též určovat výsledek, ke kterému hra dospěje. Mluvíme o výplatě, ale nemusí vždy jít o vyplácení peněz. U Matouše a Katky je výhrou, prohrou, výplatou pocit, že tábořím v určité výšce. Čísla v tabulce chápeme tak, že kladná čísla jsou výhry a záporná prohry hráče I. vlevo. Přitom platí: co vyhraje hráč I. to prohraje hráč II. Výplatní matice se vyplňuje z pozice hráče I (Matouše); výplata hráče II (Katky) je totéž číslo jen s opačným znaménkem. O takové hře říkáme, že je to hra s nulovým součtem.

• Realizace hry znamená:
  Hráč I zvolí svou strategii i, hráč II zvolí svou strategii j, aniž by věděli, co zvolil protihráč. Pak hráč II vyplatí hráči I částku a_ij, která je zapsána v i-tém řádku a j-tém sloupci výplatní matice hry (pozor na dohodu o znaménku). Částka a_ij se nazývá hodnota hry.

• Hráči jednají podle principu maximální výhry:
  Hráč I se snaží hrát tak, aby nejmenší částka, kterou může vyhrát, byla co největší, a to bez ohledu na to, co udělá hráč II. Hráč II se snaží, aby největší částka, kterou může prohrát, byla co nejmenší bez ohledu na činnost hráče I.

• Každá realizace hry se nazývá partie. Jinak řečeno: Partie hry je jedna realizace hry.

Postup řešení maticové hry s nulovým součtem výplat:

Vyhledáme minimální hodnoty v řádcích a z nich vybereme (označeno *) maximální hodnotu. Tak dostaneme dolní hodnotu hry.

JIRKA:
Díky za přehled. Vypadá to docela snadně. Když si budeme spolu chtít zahrát nějakou maticovou hru, tak si určíme plány řešení, tj. své strategie, a k tomu vytvoříme matici výplat. Tím jsou přípravy hotovy. Nyní odehrajeme první partii: každý zvolíme jednu svou strategii, podíváme se do matice a vy mi vyplatíte sumičku uvedenou na příslušném křížení řádku a sloupce. Bude-li tam záporné číslo, sumičku vyplatím já vám. Je to tak?

JEFF:
Pochopil jste to naprosto přesně.

JIRKA:
Mám-li hrát racionálně, musím si zjistit minimální hodnoty v jednotlivých řádcích, a pak z nich určit maximum. Číslo, které takto dostanu, se nazývá dolní hodnota hry. To je moje zaručená výhra.
I vy chcete hrát racionálně, proto si zjistíte maximální hodnoty ve sloupcích, a z nich vyberete minimum, což bude vaše zaručená prohra. Zároveň je to horní hodnota hry.

JEFF:
Bylo by rozumnější mluvit o odměně nebo výplata případně zisk než výhra a prohra. Už jsme si ukázali, že získat mohou oba hráči. Vzpomeňte na pojišťovnu. Slova výhra a prohra jsou adekvátní nejvýše u her s konstantním součtem.

JIRKA:
Vynasnažím se. Ještě je jasné, jak máme postupovat v případě, že dolní a horní hodnota hry je stejná. Pak jde o sedlový bod a my hráči se máme držet zuby nehty odpovídajících strategií. Může být sedlových bodů víc?

JEFF:
Ano. Pak příslušné strategie může hráč střídat dle libosti.

JIRKA:
Jak má člověk, teda hráč, postupovat, když dolní a horní hodnota hry je různá? Jestli dobře rozumím, tak ta čísla vymezují honební revír, kde se dá urvat něco navíc. Jenže jak?

JEFF:
Pane kolego, vy máte ale výrazy. Urvat. Raději bych použil výraz získat něco navíc.

JIRKA:
Omlouvám se. Ta představa lovu, honitby mě očividně svedla. Přesto otázka zůstává: Co dělat, když se sedlový bod nedostaví? A pak přece v jedné partii nemůžu získat jiné hodnoty než ty uvedené ve výplatní matici.

JEFF:
Zcela správně. V jedné jediné partii se k žádnému lovu nedostanete. Půjde o náhodu. Ale když těch partií odehrajete dostatečně mnoho, a budete hrát racionálně, pak se vaše naděje na průměrnou výhru zlepší. Je třeba si náhodu osedlat.

JIRKA:
Ale jak?